Calculer une incertitude composée - Exemple

Dans le cadre du titrage d'une solution de soude par une solution d'acide chlorhydrique, on dispose des données suivantes :

• volume prélevé : `V_"NaOH"=20,00" mL"`, avec `u(V_"NaOH")=0,02" mL"`
  
• volume à l'équivalence : `V_"E"=13,75" mL"`, avec `u(V_"E")=0,03" mL"`
  
• concentration de la solution titrante : `C_"HCl"=5,1\times10^{-2}" mol"\cdot"L"^-1`, avec `u(C_"HCl")=0,1\times10^{-2}" mol"\cdot"L"^-1`.
  

Le calcul de la concentration de la solution titrée donne : `"C"_{"NaOH"}="C"_{"HCl"}\times\frac{"V"_"E"}{"V"_{"NaOH"}}=5,1\times10^{-2}\times\frac{13,75}{20,00}=0,0350625" mol"\cdot"L"^-1`.

Le nombre de chiffres gardés à ce stade est volontairement trop élevé. Le calcul de l'incertitude-type permet par la suite de choisir ceux qui doivent être gardés.

Pour évaluer l'incertitude-type composée, puisque le calcul de la concentration utilise des produits et des quotients, on utilise la seconde relation :

`u(a)=a\times\root(){(\frac{u(b)}{b})^2+(\frac{u(c)}{c})^2+(\frac{u(d)}{d})^2`

Soit, ici :

`u(C_"NaOH")=C_"NaOH"\times\root(){(\frac{u(C_"HCl")}{C_"HCl"})^2+(\frac{u(V_"E")}{V_"E"})^2+(\frac{u(V_"NaOH")}{V_"NaOH"})^2`

`u(C_"NaOH")=0,0350625\times\root(){(\frac{0,1\times10^{-2}}{5,1\times10^{-2}})^2+(\frac{0,03}{13,75})^2+(\frac{0,02}{20,00})^2}`

`u(C_"NaOH")=6,9\times10^-4" mol"\cdot"L"^-1`.

Ici, on choisit de ne garder qu'un seul chiffre significatif pour l'incertitude-type. Ainsi le résultat final de ce titrage devient `"C"_{"NaOH"}=0,0351" mol"\cdot"L"^-1` associé à une incertitude-type `u(C_"NaOH")=0,0007" mol"\cdot"L"^-1`

ou `C_"NaOH"=3,51\times10^-2" mol"\cdot"L"^-1` avec `u(C_"NaOH")=0,07\times10^-2" mol"\cdot"L"^-1`.

Remarque : chaque terme du calcul de l'incertitude-type donne une idée du poids de chaque incertitude dans l'incertitude composée finale. Ainsi, on remarque que c'est la valeur de la concentration en acide chlorhydrique qui contribue le plus à l'incertitude-type globale (de l'ordre de 2 %). Les incertitudes-types relatives sur les volumes sont beaucoup plus faibles (0,1 % et 0,2 %).